MindCube Академия - Системы неравенств: решение и примеры с областью определения

Определение

Система неравенств — это несколько неравенств, для которых нужно найти множество всех решений, являющихся одновременно решениями каждого неравенства системы.

Для соединения неравенств в систему слева изображают фигурную скобку, например: $\begin{cases}2x-3>0,\\x-4<0,\\7-3x<5.\end{cases}$

Определение

Решить систему неравенств — значит найти все значения (или наборы значений), которые одновременно удовлетворяют всем неравенствам системы.

Чтобы решить систему неравенств, нужно:
1.Решить каждое неравенство по отдельности.
2.Найти пересечение полученных множеств решений.

Если неизвестная одна, решением будет числовое множество; если неизвестных две — множество пар чисел; если три — троек чисел и так далее.
Здесь мы рассмотрим примеры систем с одной неизвестной.

$\blacktriangleright$ Пример $1.$

Найдите область определения функции $f(x) = \sqrt{3x - 4} + \sqrt{5 - 2x}$ .

Решение

Поскольку квадратный корень можно извлекать только из неотрицательного выражения, получаем систему

$\begin{cases}3x-4\geqslant0,\\5-2x\geqslant0,\end{cases}$

Ответом будет пересечение:
$x \in \left[ \frac{4}{3}; \frac{5}{2} \right]$ .

$\blacktriangleright$ Пример $2.$

Решите систему неравенств с параметром

$\begin{cases}x\leqslant a,\\3x<2.\end{cases}$

Решение

Из второго неравенства:
$x < \frac{2}{3}$ .
Решение первого:
$x \in (-\infty; b]$ .
Теперь в зависимости от $b$ :
Если $b < \frac{2}{3}$ ,
то: $x \in (-\infty; b]$ .
Если $и\geqslant\dfrac{2}{3}$ ,
то: $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$ .