Рациональные неравенства с переменной икс: метод интервалов и примеры решения

Определение

Рациональными называются неравенства вида
$\dfrac{P(x)}{Q(x)} > 0,\; \dfrac{P(x)}{Q(x)} < 0,\; \dfrac{P(x)}{Q(x)} \geqslant 0,\; \dfrac{P(x)}{Q(x)} \leqslant 0,$
где P(x) и Q(x) — многочлены, причём \( Q(x) \not \equiv 0 \).

Метод интервалов
Наиболее удобный способ решения рациональных неравенств заключается в следующем.
На числовой прямой отмечают все нули числителя и знаменателя.
Для этого решают уравнения P(x) = 0 и Q(x) = 0 (например, разложив многочлены на множители).
В результате числовая ось делится на конечное количество интервалов, на каждом из которых выражение
$\frac{P(x)}{Q(x)}$
не меняет знак.

Чтобы определить знак на каждом интервале, можно либо подставить промежуточное значение, либо проследить, где знак меняется.

Важно помнить: если решается нестрогое неравенство, то к ответу нужно добавить решения уравнения
$frac{P(x)}{Q(x)} = 0$
(т.е. все нули P(x), которые не являются нулями Q(x)).

Пример

Рассмотрим неравенство:
$\frac{6}{x^2-1}-\frac{x}{x-1}-\frac{3}{x+1} \leq 0$

Шаг 1.
Переносим все в одну часть:
$\frac{6}{x^2-1}-\frac{x}{x-1}-\frac{3}{x+1} \leq 0$

Шаг 2.
Приводим к общему знаменателю.Общий знаменатель —
$x^2-1 = (x-1)(x+1).$
Первая дробь не меняется, вторую умножаем на x+1, третью — на x-1:

$\frac{6}{(x-1)(x+1)} - \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)} \leq 0$

Шаг 3.
Объединяем в одну дробь:
$\frac{6 - x(x+1) - 3(x-1)}{(x+1)(x-1)} \leq 0.$
Шаг 4.
Раскрываем скобки, упрощаем:
$\frac{6 - x^2 - x -3x +3}{(x+1)(x-1)} \leq 0\frac{6 - x^2 -4x +3}{(x+1)(x-1)} \leq 0\frac{-x^2 -4x +9}{(x+1)(x-1)} \leq 0$

Шаг 5.
Умножаем на -1 (меняя знак неравенства):
$\frac{x^2 +4x -9}{(x+1)(x-1)} \geq 0.$

Шаг 6.
Находим корни числителя:
Решаем $x^2 +4x -9 = 0:D = 4^2 -4 \cdot 1 \cdot (-9) = 16 +36 = 52x = \frac{-4 \pm \sqrt{52}}{2}x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{13}}{2}x = -2 \pm \sqrt{13}$

Таким образом:
$x_1 = -2 - \sqrt{13}, \quad x_2 = -2 + \sqrt{13}$

Шаг 7.
Записываем в разложенном виде:
$\frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x+1)(x-1)} \geq 0$

Отмечаем на числовой прямой точки $x = x_1, x = x_2, x = -1, x = 1.$
Точки x = -1 и x = 1 исключаются из ОДЗ (знаменатель не равен нулю).

Шаг 8.
Определяем знак на интервалах и записываем ответ:
$x \in (-\infty; x_1] \cup (-1;1) \cup [x_2; +\infty)гдеx_1 = -2 - \sqrt{13}, \quad x_2 = -2 + \sqrt{13}$.