MindCube Академия - Числовые неравенства с переменными: определения, свойства и правила сравнения

Как известно, два числа могут быть равны, а могут и не быть равны. Если числа равны — это единственная возможность, а если не равны — тут есть два варианта: одно число меньше другого или одно число больше другого. Если представить это на числовой прямой, то можно сказать: одно число больше другого, если оно расположено правее на оси.

Определение

Сравнить два числа — значит выяснить, какое из них больше, или установить, что они равны.

Определение

Число $p$ больше числа $q$ , если разность $p - q$ положительна.
Это записывают так:
$p > q$ (читается: «p строго больше q»).

Определение

Число $p$ меньше числа $q$ , если разность $p - q$ отрицательна.
Это записывают так:
$p < q$ (читается: «p строго меньше q»).

Свойства числовых неравенств
Неравенства обладают свойствами, похожими на свойства равенства. Это значит, что с ними можно проводить некоторые преобразования по аналогии с уравнениями. Перечислим эти свойства.

Свойство 1

Если прибавить или вычесть одно и то же число из обеих частей неравенства, неравенство останется верным.

Доказательство

В самом деле, если $p>b$ , то есть разность $p-q$ положительна, то и разность $(p+r)-(q+r)$ тоже будет положительной, поскольку $(p+r)-(q+r)=p-q$ . А значит, $p+r>q+r$ .

$(p - r) - (q - r) = p - q > 0$ ,

следовательно, $p - r > q - r$ .

Свойство 2

Если умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число, то неравенство останется верным.

Доказательство

Если $p > q$ , то $p - q > 0$ .
Пусть $r > 0$ :
$r \cdot (p - q) > 0 \implies rp > rq$ .
Аналогично при делении:
$(p : r) - (q : r) = (p - q) : r > 0 \implies p : r > q : r$ .

Свойство 3

Если умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Доказательство

Если $p > q$ ,
то $p - q > 0$ .
Пусть $r < 0$ :
$r \cdot (p - q) < 0 \implies rp < rq$ .
Аналогично при делении:
$(p : r) - (q : r) = (p - q) : r < 0 \implies p : r < q : r$ .

Важное замечание

Эти свойства похожи на правила для уравнений, но нужно помнить о смене знака при умножении или делении на отрицательное число.

Некоторые операции, допустимые для уравнений, нужно применять к неравенствам с осторожностью.Например, возведение обеих частей в квадрат не всегда даёт верное неравенство.

Пример: $2 > -3 \quad \text{верно}$ ,

но после возведения в квадрат: $4 > 9$ — неверно!

Почему? Потому что:
$p^2 - q^2 = (p - q)(p + q)$ ,
и чтобы знак $p^2 > q^2$ соответствовал $p > q$ , нужно, чтобы $p + q > 0$ .

лайфхак

Если обе части неравенства положительны, то неравенство можно смело возводить в квадрат.
Если одна часть отрицательна, а другая положительна, всё очевидно: отрицательное меньше положительного.
Если обе части отрицательны, можно умножить обе части на -1 (и поменять знак неравенства), тогда обе части станут положительными — и после этого можно возводить в квадрат.