Примеры неравенств методом интервалов: пошаговое решение

$x \cdot (x-2)\cdot(x-4)>0$.

Ответ: $(0;2)\cup(4;+\infty)$.

$\dfrac{1}{x+5}-\dfrac{1}{x-5}>0{,}3$,

$\dfrac{x-5}{(x-5)(x+5)}-\dfrac{x+5}{(x-5)(x+5)}>\dfrac{0{,}3(x-5)(x+5)}{(x-5)(x+5)}$,

$\dfrac{x-5-(x+5)-0{,}3(x-5)(x+5)}{(x-5)(x+5)}>0$,

$\dfrac{x-5-x-5-0{,}3x^2+7{,}5}{(x-5)(x+5)}>0$,

$\dfrac{-10-0{,}3x^2+7{,}5}{(x-5)(x+5)}>0$,

$\dfrac{-0{,}3x^2-2{,}5}{(x-5)(x+5)}>0$,

$\dfrac{0{,}3x^2+2{,}5}{(x-5)(x+5)}<0$.

Ответ:$(-5;0)\cup(0;5)$.

Область определения указанной функции задается следующей системой условий:

$\begin{cases}\dfrac{-5 x^{2}+6 x+2}{\sqrt{4 x^{2}-9 x+1}}\geqslant0,\ 4x^2-9x+1>0.\end{cases}$

Поскольку в первом неравенстве (с учетом второго неравенства) знаменатель дроби положителен, соответствующее неравенство можно домножить на него. Отметим, важно учесть, чтобы он не был равен нулю, но это уже выполняется в силу второго неравенства.

$\begin{cases}-5x^2+6x+2\geqslant0,\4x^2-9x+1>0,\end{cases}$

$\begin{cases}5x^2-6x-2\leqslant0,\4x^2-9x+1>0,\end{cases}$

$\begin{cases}(5x+2)(x-1)\leqslant0,\\(4x-1)(x-1)>0.\end{cases}$

$\begin{cases}x\in[-\dfrac{2}{5};1],\x\in(-\infty;\dfrac{1}{4})\cup(1;+\infty).\end{cases}$

$x\in[-\dfrac{2}{5};\dfrac{1}{4})$.

Ответ: $[-\dfrac{2}{5};\dfrac{1}{4})$.

$\dfrac{2 x^{2}-5 x-1}{(x+3)(x+1)}<\dfrac{4 x^{2}-5 x+2}{(2x+4)(x+1)}$,

$\dfrac{(x-1)(2x+1)(2x+4)}{(x+3)(2x+4)(x+1)}-\dfrac{(4x-2)(x-1)(x+3)}{(x+3)(2x+4)(x+1)}<0$,

$\dfrac{(x-1)(2x+1)(2x+4)-(4x-2)(x-1)(x+3)}{(x+3)(2x+4)(x+1)}<0$,

$\dfrac{(x-1)(4x^2+10x+4)-(4x-2)(x-1)(x+3)}{(x+3)(2x+4)(x+1)}<0$,

$\dfrac{(x-1)(4x^2+10x+4)-(4x-2)(x-1)(x+3)}{(x+3)(2x+4)(x+1)}<0$.

Так как дискриминант $(x-1)(4x^2+10x+4)-(4x-2)(x-1)(x+3)$ отрицателен, выражение всегда положительно; знак зависит только от $x-1$:

$\dfrac{x-1}{(x+3)(2x+4)(x+1)}<0$.

Ответ:$\left(-3; -\dfrac{4}{2}\right)\cup(-1;1)$.