Системы линейных неравенств с двумя неизвестными: графики и угол решений

Математика

Пусть ${{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0$ и ${{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0$ — уравнения двух пересекающихся прямых на плоскости. Эти прямые образуют две пары вертикальных углов. Каждый из этих четырех углов задается одной из следующих систем неравенств:

$\left\{ \begin{array}{l} {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}\geqslant 0, \\ {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}\geqslant 0, \\ \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array}{l} {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}\geqslant 0, \\ {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}\leqslant 0, \\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}\leqslant 0, \\ {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}\geqslant 0, \\ \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array}{l} {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}\leqslant 0, \\{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}\leqslant 0. \end{array} \right.$

Если $b_1 > 0$ и $b_2 > 0$ , схематично это выглядит так:

Пример

Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

$\left\{ \begin{array}{l} 2x+y-4\geqslant 0; \\ 3x-y-3\leqslant 0. \\ \end{array} \right.$

Решение

Изобразим на координатной плоскости прямые $2x+y-4=0$ и $3x-y-3=0$ . Неравенство $2x+y-4\geqslant 0$ может быть переписано как $y\geqslant 4-2x$ , а неравенство $3x-y-3\leqslant 0$ как $y\geqslant 3x-3$ . Поэтому искомое множество точек — угол, все точки которого лежат выше как одной, так и другой прямой: