Квадратные неравенства: решение, графики и таблица случаев

Графическая интерпретация решений квадратных неравенств

$1.$  Для начала рассмотрим параболу с положительными старшим коэффициентом и положительным дискриминантом, то есть пусть $a > 0$ и квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных корня $x_1 < x_2$. 

Изобразим схематично график функции $y = ax^2 + bx + c$. Часть параболы, лежащую выше оси $Ox$, выделим  оранжевым  цветом, а ту часть, которая находится ниже оси $Ox$,  — синим.  

Рис.1

Из рисунка видно, что $y > 0$, когда $x$ либо меньше меньшего корня $x_1$  уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, либо больше большего $x_2$. Значит, решением неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ будет объединение промежутков $(- \infty;x_1)\cup(x_2;+ \infty).$ 
Далее, $y < 0$, когда $x$ лежит между корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Значит, решением неравенства $ax^2 + bx + c < 0$ будет интервал $(x_1;x_2)$.
Для нестрогих неравенств имеем соответственно:

$2.$  Пусть теперь $a < 0$ и квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ также имеет  два различных корня $x_1 < x_2$. Изобразим схематично график функции $y = ax^2 + bx + c$. И так же выделим часть параболы, лежащую выше оси $Ox$,   оранжевым  цветом, а ту часть, которая лежит ниже оси $Ox$,  — синим  (см. рисунок 2).  

Рис. 2

Из рисунка видно, что в этом случае ситуация, обратная ситуации с положительным значением коэффициента $a$. То есть $y > 0$, когда  $x$ лежит между корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Значит, решением неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ будет интервал $(x_1;x_2)$. 

Далее, $y < 0$, когда $x$ либо меньше меньшего корня $x_1$  уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, либо больше большего $x_2$. Значит, решением неравенства $ax^2 + bx + c < 0$ будет объединение промежутков $(- \infty;x_1)\cup(x_2;+ \infty).$ 

Для нестрогих неравенств при $a < 0$ имеем соответственно:

$x$ либо меньше меньшего корня $x_1$  уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, либо больше большего $x_2$. Значит, решением неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ будет объединение промежутков $(- \infty;x_1)\cup(x_2;+ \infty).$ 

В  ситуации, когда   квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет единственный корень или не имеет корней, рассуждения аналогичны, и можно их результаты свести  в следующую таблицу.