MindCube Академия - Равносильные преобразования неравенств: определения и теоремы

Решение неравенств разумно выполнять с помощью равносильных преобразований, ведь обычно решением неравенства является целый промежуток значений переменной, и проверить каждое значение напрямую невозможно.

Частным решением неравенства $h(x) > k(x)$ называют любое значение переменной x, при котором неравенство становится верным числовым неравенством.Общим решением (или просто “решением”) называют множество всех частных решений.

Далее все определения и теоремы будем формулировать для неравенства со знаком $h(x) > k(x)$ .
Это не ограничит общности этих определений и теорем: в той же форме они будут справедливы и для неравенств со знаками "меньше", "больше или равно", "меньше или равно".

Определение

Областью определения неравенства $f(x)>g(x)$ или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называется множество всех (и только таких) значений переменной $x$ , при каждом из которых одновременно определены (имеют смысл) выражения $f(x)$ и $g(x)$ .

Определение 1

Два неравенства $h_1(x) > k_1(x)$
и $h_2(x) > k_2(x)$ называются равносильными, если их общие решения совпадают.

Определение 2

Если множество решений неравенства
(1) $h_1(x) > k_1(x)$ содержится в множестве решений неравенства
(2) $h_2(x) > k_2(x)$ ,
то (2) называется следствием (1).
Пишут: $(1) \Rightarrow (2) \quad$
или $\quad (2) \Leftarrow (1)$ .

Теорема

Неравенства (1) и (2) равносильны тогда и только тогда, когда:
$(1) \Rightarrow (2) \quad$
и $\quad (1) \Leftarrow (2)$ .
Обозначение: $(1) \Leftrightarrow (2)$ .

Схему решения неравенства можно, аналогично таковой для решения уравнений, представить в следующем виде:

от исходного неравенства $(1)$ переходят к более простому неравенству $(2)$ , от неравенства $(2)$ переходят к более простому неравенству $(3)$ и так далее:

$(1) \rightarrow (2) \rightarrow (3) \rightarrow \dots$

В конце получают достаточно простое неравенство и находят его общее решение. Если каждый переход представлял собой равносильное преобразование, то есть если $(1) \Leftrightarrow (2) \Leftrightarrow (3) \Leftrightarrow \dots$ , то найденное общее решение последнего неравенства совпадает с общим решением исходного неравенства.

Теоремы равносильности

Все утверждения верны только при соблюдении условий! Перед применением теоремы — проверьте условия.

Теорема 1

Если член неравенства перенести из одной части в другую с изменением знака, знак неравенства не меняется, и неравенство останется равносильным.

Теорема 2

Теорема 3

Показательное неравенство

b^{h(x)} > b^{k(x)}

равносильно:

h(x) > k(x)

при b > 1;

h(x) < k(x)

при 0 < b < 1.

Теорема 4

a) Если обе части неравенства
$h(x) > k(x)$ умножить на одно и то же положительное выражение $m(x)$ (определённое на ОДЗ), знак неравенства сохраняется, и неравенство равносильно исходному:
$h(x) \cdot m(x) > k(x) \cdot m(x)$ .

b) Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное $m(x)$ , знак неравенства меняется на противоположный, и неравенство равносильно исходному:
$h(x) \cdot m(x) < k(x) \cdot m(x)$ .

Теорема 5

Если обе части неравенства $h(x) > k(x)$ неотрицательны на ОДЗ, то возведение обеих частей в одинаковую чётную степень $2n$ даёт равносильное неравенство:
$(h(x))^{2n} > (k(x))^{2n}$ .

Теорема 6

а) Иррациональное неравенство $\sqrt{h(x)} < \sqrt{k(x)}$ равносильно следующей системе:

$\begin{cases}h(x)<k(x),\\h(x)\geqslant0.\end{cases}$

б) Иррациональное неравенство $\sqrt{h(x)} < m(x)$ равносильно следующей системе:

$\begin{cases}h(x)<m^2(x),\\h(x)\geqslant0,\\m(x)\geqslant0.\end{cases}$

в) Иррациональное неравенство $\sqrt{h(x)} > m(x)$ равносильно следующей совокупности:

$\left[\begin{array}{l}{\begin{cases}m(x)\geqslant0,\\h(x)>g^2(x),\end{cases}}\\{\begin{cases}m(x)<0,\\h(x)\geqslant0.\end{cases}}\end{array}\right.$

Теорема 7

Логарифмическое неравенство $\sqrt{h(x)} > m(x))$ равносильно:

а) при $b>1$ одновременному выполнению системы двух следующих условий: $h(x)<k(x)$ и $h(x)>0$ ;

б) при $0<b<1$ одновременному выполнению системы двух следующих условий: $h(x)>k(x)$ и $k(x)>0$ .