Деление с остатком. Понятие делимости

Делимость – одно из основных понятий математики, связанное с операцией деления. Чтобы дать ему определение, рассмотрим пример.

$\blacktriangleright$ Пример 1. В класс принесли $120$ жвачек и раздали их поровну всем ученикам. Сколько жвачек досталось каждому ученику, если в классе $30$ учеников?

Решение: Чтобы найти количество жвачек, которое получил каждый ученик, нужно общее количество жвачек разделить на количество учеников в классе.

$120 : 30 = 4$ (жвачки) — у каждого ученика.

Ответ: $4$ жвачки получил каждый ученик.

В данном примере:

$120$ – делимое, то есть число, которое делят,

$30$ – делитель, число, на которое делят,

$4$ – частное, результат деления. Частное показывает, во сколько раз делимое больше делителя.

Не всегда можно одно целое число разделить на другое без остатка. Если бы в предыдущем примере в классе было не $30$, а $32$ учеников, то каждому ученику досталось бы только по $3$ и $10$ карандашей осталось.

$120 : 32 = 3$ (ост. $75$).

В этом случае $3$ называют неполным частным, а число $75$ – остатком от деления.

Таким образом, делимость – это способность одного числа делиться на другое без остатка или нацело. 

Говорят, что число $a$ делится на число $b$, если существует такое натуральное число $c$, что $a = b\cdot c$.

Например, $54$ делится на $3$, так как $54 = 3\cdot18$. 

Если число $a$ делится на число $b$ без остатка, то говорят, что $a$ кратно $b$.

Число $b$ в этом случае называют делителем числа $a$.

$\blacktriangleright$ Пример 2. В магазине проходит распродажа: при покупке двух мороженых, третье покупатель получает в подарок. Одно мороженое  стоит $30$ рублей. Какое наибольшее количество мороженых можно получить за $375$ рублей?

Решение:

Узнаем сначала, сколько мороженых по $30$ рублей можно купить на $375$ рублей. Для этого разделим $375$ на $30$:

1) $375 : 30 = 12$ (ост. $5$) (мороженых) – если бы распродажи не было, покупатель смог бы купить $12$ батончиков и у него осталось бы $5$ рублей.

Узнаем, за сколько пар мороженых покупатель получит в подарок еще по одному мороженому:

2) $12 : 2 = 6$ (пар) – столько пар мороженых будет у покупателя, значит, столько мороженых он получит в подарок.

Посчитаем, сколько всего мороженых получит покупатель:

3) $12 + 6 = 18$ (мороженых) — можно получить за $375$ рублей.

Ответ: за $375$ рублей можно получить $18$ мороженых.