MindCube Академия - Пропорции и равенства отношений в математике

Заметим, что отношения $3 : 0{,}75$ и $9 : 2{,}25$ принимают одинаковое значение, равное $4$ . Значит, мы можем записать равенство: $3 : 0{,}75 = 9 : 2{,}25$ , которое называют пропорцией.

Пропорция — это равенство двух отношений.

Запись пропорции в буквенном виде

$a : b = c : d$ или $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$

Такую запись можно прочитать двумя способами:

«‎отношение $a$ к $b$ равно отношению $c$ к $d$ »;
« $a$ относится к $b$ ‎, как $c$ относится к $d$ ».

Числа $a$ и $d$ называют крайними членами пропорции, а числа $b$ и $c$ — средними членами пропорции.

$\blacktriangleright$ Пример 1. Определите крайние и средние члены в пропорции $3 : 0{,}75 = 9 : 2{,}25$ . Найдите и сравните произведение крайних членов и произведение средних членов.

Узнать ответ

Крайние члены: $3$ и $2{,}25$ . Их произведение: $3 \cdot 2{,}25 = 6{,}75$ .

Средние члены: $0{,}75$ и $9$ . Их произведение: $0{,}75 \cdot 9 = 6{,}75$ .

Видим, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.

Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов, то есть

если $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ , то $ad = bc$

Это свойство так же можно запомнить как «правило креста‎», ведь если пропорция записана в виде дробей, то перемножаются числа крест накрест.

Из основного свойства пропорции можно вывести следующее утверждение:

Если числа $a$ , $b$ , $c$ и $d$ отличны от нуля и $ad = bc$ , то отношения $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ равны и могут образовать пропорцию.

Подумайте, какие ещё пропорции следуют из равенства $ad = bc$ ?

Если поменять члены пропорции местами, то из равенства $ad = bc$ также следуют пропорции:

$\dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a}$ , $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$

Составление пропорций помогает решать разные задачи.

$\blacktriangleright$ Пример 2. Посчитайте, сколько стоит $2{,}4$ м ткани, если за $2{,}0$ м этой же ткани заплатили $72$ рублей.

Решение

Пусть $2{,}4$ м ткани стоят $x$ рублей. Запишем условие задачи кратко:

$2{,}4$ м — $x$ р.;

$2{,}0$ м — $72$ р.

Сколько будет стоить один метр ткани? Мы можем представить его стоимость в виде отношения $\dfrac{x}{2{,}4}$ , либо в виде отношения $\dfrac{72}{2{,}0}$ . Соответственно, данные отношения равны и образуют пропорцию:

$\dfrac{x}{2{,}4} = \dfrac{72}{2{,}0}.$

По основному свойству пропорции $2{,}0x = 2{,}4 \cdot 72.$ , откуда $x$ равен:

$x = \dfrac{2{,}4 \cdot 72}{2{,}0} = \dfrac{24 \cdot 72}{20} = \dfrac{24 \cdot 9}{2{,}5} = 24 \cdot 9 \cdot 0{,}4 = 86{,}4.$ .

Ответ: $86{,}4$ рубля.