MindCube Академия - Отношение чисел

Задание: вспомните примеры, когда в математике одно и то же понятие имеет разные названия.

Примеры:

Число во второй степени или квадрат числа.

Одна десятая величины или десять процентов величины.

Отношение чисел — это тоже синоним к уже известному вам понятию.

Частное двух чисел $a$ и $b$ , отличных от нуля, называют отношением числа $a$ к числу $b$ .

$\blacktriangleright$ Пример 1.

$8 : 4$ — отношение числа $8$ к числу $4$ .

$2{,}4 : 7{,}2$ — отношение числа $2{,}4$ к числу $7{,}2$ .

$\dfrac{3}{5} : \dfrac{2}{9}$ — отношение числа $\dfrac{3}{5}$ к числу $\dfrac{2}{9}$ .

В отношении числа $a$ к числу $b$ числа $a$ и $b$ называют членами отношения, число $a$ — предыдущим членом отношения, а число $b$ — последующим.

Иногда, вместо «‎отношение числа $a$ к числу $b$ » говорят «‎отношение числа $a$ и числа $b$ » или «‎отношение чисел $a$ и $b$ ».

$\blacktriangleright$ Пример 2. Найдите отношение числа $24$ к числу $6$ .

Решение

Отношение — это частное чисел. Тогда отношение $24$ к $6$ равно $24:6=4$ .

Ответ: $4$ .

Отношение чисел $a$ и $b$ показывает, во сколько раз число $a$ больше числа $b$ или какую часть число $a$ составляет от числа $b$ .

Равны ли отношение числа $a$ к числу $b$ и отношение числа $b$ к числу $a$ ?

Для примера возьмём $a = 9$ , $b = 3$ .

Найдём, чему тогда равно отношение числа $a$ к числу $b$ :

$a : b = 9 : 3 = 3$

Теперь найдём, чему равно отношение числа $b$ к числу $a$ :

$b : a = 3 : 9 =\frac{1}{3}$ .

Сравним полученные значения:

$3 \neq \frac{1}{3}$ .

Следовательно, отношение числа $a$ к числу $b$ не равно отношению числа $b$ к числу $a$ .

Отношение числа $a$ к числу $b$ можно записать в виде дроби $\frac{a}{b}$ .

Черту дроби используют также для записи отношения дробей, например,
$\frac{0{,}6}{1{,}8}$ .

Выбирают тот способ записи отношения, который является наиболее компактным в конкретном случае.

Например, запись отношения числа $\frac{2}{5}$ к числу $\frac{3}{7}$ в таком виде

\dfrac{\dfrac{2}{5}}{\dfrac{3}{7}}

не удобна.

Основное свойство отношения

Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

$\blacktriangleright$ Пример 3.
Найдите отношение числа $2{,}4$ к числу $7{,}2$ .

Решение

Запишем отношение чисел:

\dfrac{2{,}4}{7{,}2}.

Воспользуемся основным свойством отношения и домножим оба члена отношения на $10$ , чтобы числа стали целыми:

\dfrac{2{,}4}{7{,}2} = \dfrac{2{,}4 \cdot 10}{7{,}2 \cdot 10} = \dfrac{24}{72}.

Ответ: $\frac{1}{3}$ .

Отношение дробных чисел можно заменить отношением натуральных чисел.

$\blacktriangleright$ Пример 4.
Замените отношение $\dfrac{5}{12} : \dfrac{3}{8}$ равным отношением натуральных чисел.

Решение

Найдём значение отношения чисел:

\dfrac{5}{12} : \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{5 \cdot 8}{12 \cdot 3} = \dfrac{40}{36}.

Сократим дробь:

\dfrac{40}{36} = \dfrac{10}{9}.

Таким образом, отношение равно:

\dfrac{10}{9} = 10 : 9.

Ответ:

10 : 9