Разложение на простые множители

При решении различных задач часто требуется представить число в виде произведения нескольких множителей. В таком случае говорят, что число разложено на множители.

Например, запись $60 = 6 \cdot 10$ означает, что число $60$ представлено как произведение множителей $6$ и $10$.

Оба числа — $6$ и $10$ — составные, поэтому их можно также разложить:

$6 = 2 \cdot 3,\quad 10 = 2 \cdot 5$.

Подставляя разложения, получаем:

$60 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5$.

Таким образом, число $60$ разложено на простые множители.

Существует и другой способ разложения:

$60 = 5 \cdot 12 = 5 \cdot 3 \cdot 4 = 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2$.

В итоге получаются те же самые простые множители, только в ином порядке.

Важно помнить, что при разложении любого натурального числа на простые множители конечный результат всегда будет одинаковым, независимо от того, каким способом выполнялось разложение. Отличие может быть лишь в порядке расположения этих простых множителей.

Рассмотрим на примере удобную схему разложения на простые множители.

$\blacktriangleright$ Пример 1. Разложите на простые множители число $426$.

Будем последовательно подбирать натуральные делители, начиная с наименьшего возможного. Отметим, что подобрать нужные делители помогают признаки делимости чисел.

1) Число $426$ делится на $2,$ так как оканчивается чётной цифрой $6.$ Имеем $426:2=213$.

2) Число $213$ не делится на $2,$ так как оканчивается нечётной цифрой. Но делится на $3,$ так как его сумма цифр $(2+1+3=6)$ делится на $3$. Имеем $213:3=71$.

3) Число $71$ является простым числом. При делении числа $71$ на $71$ получаем $1$.

Разложение на простые множители закончено. Значит, $426=\color{red}2\cdot 3\cdot 71\color{black}$.