MindCube Академия - Делимость. Свойства делимости

Определение

Говорят, что натуральное число $a$ делится на другое натуральное число $b$ , если существует такое натуральное число $k$ , что выполняется равенство: $a = k \cdot b$ . Это свойство обозначают так: $a; \vdots; b$ , то есть число $a$ кратно числу $b$ . В этом случае $b$ называется делителем числа $a$ , а $a$ — кратным числа $b$ .

Свойства делимости

Любое натуральное число делится на 1 и на само себя.
Если натуральное число $a$ делится на натуральное число $b$ , и число $b$ делится на $a$ , то $a = b$ .
Если $a_1 \;\vdots\; b$ и $a_2 \;\vdots\; b$ , то $a_1 + a_2 \;\vdots\; b$ и $a_1 - a_2 \;\vdots\; b$ .
Если $a \;\vdots\; b$ и $c\in \mathbb{N}$ , то $ac \;\vdots\; b$ .

Доказательство

Любое число можно представить в виде $a=a \cdot 1$ .
Если число $a$ делится на $b$ , то $a = kb$ . Если $b$ делится на $a$ , то $b = na$ . Следовательно, $b = nkb$ . Значит, $nk = 1$ , то есть $n = k = 1$ , $a=kb=b$ .
Пусть $a_1, a_2 \;\vdots\; b$ , тогда существуют $k_1,k_2 \in \mathbb{N}$ : $a_1=k_1b$ , $a_2=k_2b$ .

$a_1+a_2=k_1b+k_2b=(k_1+k_2)b=kb,\qquad k\in \mathbb{N}.$

Значит, $a_1 + a_2 \;\vdots\; b$ . Аналогично доказывается, что $a_1-a_2\vdots b$ .
Пусть $a \;\vdots\; b$ , тогда $a=kb$ , $ac = kcb = k'b$ , $k'\in \mathbb{N}$ . Значит, $ac \;\vdots\; b$ .

Делимость – это способность одного числа делиться на другое без остатка или нацело.

Свойства делимости

1) Любое число можно разделить на $1$ без остатка. Частным при делении на $1$ является само число:

$a:1 = a$ .

2) Любое число можно разделить само на себя без остатка. Частным при делении числа на само себя является $1$ :

$a:a = 1$ .

3) Ноль делится на любое число, кроме нуля, без остатка. Частным при делении нуля на любое число является ноль:

$0:a = 0$ .

4) Делить на $0$ нельзя!