MindCube Академия - Признаки делимости на 4, 7, 8, 11 и 13

Признак делимости на $4$

Число делится на $4$ тогда и только тогда, когда число, образованное его двумя последними цифрами, делится на $4$ или когда оно оканчивается двумя нулями.

$\blacktriangleright$ Пример 1. Рассмотрим числа $47316$ , $24500$ , $58327$ .

1) Число $47316$ делится на $4$ , так как две его последние цифры образуют число $16$ , которое делится на $4$ .

$47316 : 4 = 11829$ .

2) Число $24500$ делится на $4$ , так как оно оканчивается двумя нулями..

$24500 : 4 = 6125$ .

3) Число $58327$ не делится на $4$ без остатка, так как две его последние цифры образуют число $27$ , которое не делится на $4$ .

$58327 : 4 = 14581$ (ост. $3$ ).

Признак делимости на $7$

Число делится на $7$ тогда и только тогда, когда при вычитании удвоенной последней цифры из этого числа, взятого без последней цифры, результат делится на $7$ .

Например, выясним, делится ли на $7$ число $17948$ .

Применим признак признак делимости на $7$ к числу $1794\color{red}8$ :

$1794 - 2 \cdot 8 = 1778$ — слишком большое число, чтобы сразу сказать, делится ли оно на $7$ .

Применим признак делимости на $7$ к числу $177\color{red}8$ :

$177 - 2 \cdot 8 = 161$ — слишком большое число, чтобы сразу сказать, делится ли оно на $7$ .

Применим признак делимости на $7$ к числу $16\color{red}1$ :

$16 - 2 \cdot 1 = 14$ — делится на $7$ .

Значит, $161$ делится $7$ , и значит, $1778$ делится на $7$ , и значит, исходное число делится на $7$ .

$17948:7=2564$ .

Признак делимости на $8$

Число делится на $8$ тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на $8$ или когда оно оканчивается тремя нулями.

Например, число $1568$ делится на $8$ , так как $568$ делится на $8$ .

$1568:8=196$ .

Признак делимости на $11$

На $11$ делятся те и только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, либо разность этих сумм делится на $11$ .

Например, число $364089$ делится на $11$ , так как сумма цифр на нечётных местах $3 + 4 + 8 = 15$ , а сумма цифр на чётных местах $6 + 0 + 9 = 15$ равны.

$364089 : 11 = 33199$ .

Признак делимости на $13$

Число делится на $13$ тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, делится на $13$ .

Например, число $377$ делится на $13$ , так как $37 + 4 \cdot 7 = 65$ делится на $13$ .

$377 : 13 = 29$ .